Исследование динамического поведения оболочек МКЭ

А.И. Голованов, А.Ф. Шигабутдинов (Казань)

В настоящей работе на основе МКЭ решаются некоторые задачи нестационарного деформирования оболочечных элементов конструкций. Объектом исследований являются оболочки малой и средней толщины. Расчёт ведётся по теории Тимошенко, предполагается линейное изменение геометрии и перемещений по толщине. При описании деформации оболочек используется статическая гипотеза о малости напряжений обжатия.

Для дискретизации задачи используется МКЭ. Среди множества конечных элементов непологих тонких оболочек особое место занимают так называемые вырождающиеся трёхмерные оболочечные элементы. В них элемент оболочки представляется в виде трёхмерного тела, в которое гипотезы, характеризующие механику деформирования тонких оболочек, закладываются на уровне построения матрицы жёсткости элемента. Конструкция разбивается на 9-ти узловые изопараметрические конечные элементы (КЭ), каждый КЭ оболочки представляет собой трёхмерное тело, у которого один из размеров меньше двух других [1]. Узловыми неизвестными служат проекции вектора перемещений на орты глобальной декартовой системы координат и углы поворота нормального волокна относительно базовых векторов касательной плоскости. Внутри КЭ используются аппроксимации одного порядка для геометрии и перемещений в виде биквадратичных полиномов.

Интегрирование уравнений движения ведётся численно методом обобщённого ускорения (методом Ньюмарка) [1, 2]. Предполагается, что в начальный момент известны геометрия конструкции, граничные условия для конструкции (их в общем случае пять для каждого края оболочки) и приложенные нагрузки. Считаем, что демпфирующие силы отсутствуют. Интервал времени разбивается на набор дискретных значений и строится последовательность решений. Для определения решения на (n+1) шаге используется решение, первая и вторая производные по времени на (n) - ом шаге. Схема имеет второй порядок точности и включает параметры, выбор которых позволяет сделать её устойчивой и наиболее точной. В результате определяются перемещения и напряжения как функции времени.

 

1. А.И.Голованов. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Выпуск XXV. Казань. 1990.

2. А.И.Голованов, Д.В. Бережной. Метод конечных элементов в механике деформируемых твёрдых тел. Казань: “ДАС”, 2001, 300 с.

3. И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хазанов. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппартов. М.: “Высшая школа”, 1985, 392 с.