Оптимальное управление в некоторых задачах гидродинамики

И.В. Дубовиченко, А.А. Олейник, Ел.В. Шкляева (Пермь)

В работе рассматриваются некоторые задачи гидродинамики, сводящиеся к задачам оптимального управления. Для задач со свободной границей предлагается следующий подход к нахождению неизвестной области и состояния системы в этой области: поставленная задача сводится к задаче оптимального управления областью, которая, в свою очередь, сводится к задаче граничного или распределенного управления (управление является жестким) в уже известной области, но на абстрактном и малоизученном классе функций. Трудность поставленной задачи состоит и в том, что целевая функция полученной задачи граничного управления зависит от границы неизвестной области. В работе доказано существование оптимального управления в достаточно широком классе областей с ограниченным периметром, при котором на свободной поверхности выполняются некоторые условия. В работе изучается задача определения состояния атмосферы по данным в конечном числе точек. Используя математическую модель атмосферы и методы оптимального управления, требуется определить состояние атмосферы между точками наблюдения. Задача сводится к задаче оптимального управления системой дифференциальных уравнений с частными производными. Состояние системы описывается классическими уравнениями гидродинамики – уравнениями Эйлера. Использование точечного наблюдения в задаче управления усложняет вопрос ее разрешимости. Еще одной особенностью задачи является ее нелинейность, что не позволяет использовать при ее решении хорошо изученные методы. Рассматривается неизотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости в двумерной области. Состояние системы описывается уравнениями Стокса. Требуется, управляя потоком тепла на части границы, получить в области распределение скорости, близкое к заданному. Сложность поставленной задачи состоит в том, что требуемый профиль скорости в общем случае не является решением исходной системы уравнений. Ставится задача нахождения аппроксимативного управления. Рассмотрено жесткое и граничное управление и распределенное наблюдение. Доказана теорема существования аппроксимативного управления, разработан численный алгоритм его нахождения и примеры реализации для конкретных течений. Получены, кроме того, достаточные условия точной управляемости.

В случае неизотермического течения вязкой сжимаемой жидкости, движение которой описывается системой уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, управлением является профиль скорости на части границы, наблюдение – граничное. В работе получены необходимые условия оптимальности управления, которые используются для построения численного решения задачи.