Предельные соотношения для функции, представленной формулой Кирхгоффа, и ее частных производных и их приложения

М.Т. Жапаров, Ш.Д. Шамгунов (Бишкек)

Как известно, многие задачи гидрогазодинамики и динамической теории упругости можно свести к рассмотрению волнового уравнения или системы волновых уравнений при определенных начальных и граничных условиях. Любое же решение волнового уравнения можно представить формулой Кирхгоффа – поверхностным интегралом, в подинтегральное выражение которого входят значения функции – решения волнового уравнения -  и ее первых производных. При этом предполагается, что точка, для которой вычисляется интеграл, является внутренней для области, ограниченной поверхностью, по которой распространен интеграл. Характерным для формулы Кирхгофа является запаздывание – значения функции и ее производных в подинтегральном выражении относятся не к данному моменту, а к предшествующим моментам времени.

В граничные условия, в зависимости от характера задачи, могут входить значения функции – решения волнового уравнения -  и ее частных производных. Поэтому для решения упомянутых выше прикладных задач предлагаемым методом необходимо установить выражения, которыми представляются пределы указанных значений, вычисленных для точки, расположенной вне поверхности, по которой распространен интеграл, представляющий формулу Кирхгоффа, когда указанная точка стремится к точке этой поверхности.

Авторами установлены указанные предельные соотношения. Подстановка их в граничные условия конкретных задач приводят к системам интегро-дифференциальных уравнений относительно значений искомых функций и их производных на поверхности, вдоль которой распространены интегралы, представляющие формулу Кирхгоффа. Эти уравнения можно решить численным методом, используя отмеченный выше фактор запаздывания.