Спектральные свойства длинных магнитогидродинамических волн в идеально проводящей вязкой жидкости в вертикально стратифицированном магнитном поле

А.И. Задорожный  (Ростов – на - Дону)

В линейной постановке изучаются свободные длинноволновые колебания однородной вязкой несжимаемой жидкости бесконечной электрической проводимости в поле гравитационных сил. Снизу жидкость ограничена твердой стенкой, сверху – свободной поверхностью (СП), граничащей с вакуумом (неионизированным газом). Напряженность стационарного горизонтального магнитного поля в жидкости достаточно произвольным образом меняется по вертикали. Создание подобного рода магнитных полей дает возможность влиять на движение жидкой среды. Выполняется условие прилипания на твердой стенке, кинематическое условие на СП, условия сопряжения электромагнитных полей и компонент тензора полных напряжений на границах раздела сред.

В конечном счёте получена спектральная краевая задача для обыкновенного интегро - дифференциального уравнения второго порядка типа Фредгольма. Входными параметрами являются гидродинамическое число Рейнольдса и безразмерная функция Альфвена, зависящая от квадрата напряженности стационарного магнитного поля (при постоянстве последнего это – число Альфвена). Поставленная так задача принадлежит классу самосопряженных квадратичных операторных пучков. При неподвижности твердой стенки устанавливается, что спектр - счетный, пучок является диссипативным; выводится условие его сильной демпфированности (апериодичности всех мод), доказывается существование лишь конечного числа затухающих колебательных режимов.

Выявляется наличие одной поверхностной волновой моды, счетного набора вязких альфвеновских мод, имеющих характер внутренних волн, описываются «медленные» и «быстрые» апериодические режимы. При определенной конфигурации магнитного поля у дифференциального оператора появляются точки поворота. Им отвечают дополнительные моды, имеющие аналогию с известными в геофизике нехарактерными внутренними волнами. В идеальной жидкости они сопровождаются тангенциальным разрывом скорости, который сглаживается наличием молекулярной вязкости.

Случай движения твердого дна с постоянной скоростью в направлении горизонтальной оси сводится к рассмотренному выше. Результатом является сдвиг всего спектра вдоль мнимой оси на величину безразмерной скорости равномерного потока. Следствием может стать эффект «запирания» волновода, то есть отсутствия волн, распространяющихся вверх по потоку, и увеличения фазовых скоростей прогрессивных волн, бегущих вниз по нему.