Нелинейная динамика трубопроводов, возбуждение периодических и хаотических колебаний

Д.М. Зарипов, М.А. Ильгамов, Р.Л. Лукманов (Уфа)

Рассматриваются изгибные колебания горизонтальной и вертикальной труб, заполненных жидкостью, при различных условиях закрепления концов. По трубе распространяется гармоническая волна давления в жидкости. Средняя скорость движения жидкости в трубе принимается равной нулю. При предположении малости прогиба по сравнению с длиной трубы и угла поворота сечения по сравнению с единицей колебания описываются нелинейным уравнением. На концах ставятся граничные условия шарнирного закрепления или жесткой заделки.

Для решения поставленной задачи предлагается итерационная процедура, для которой доказана сходимость с любого начального приближения, сводящая решение исходной нелинейной задачи к последовательности линейных задач с постоянными коэффициентами. Это позволило на каждой итерации выписывать решение в виде ряда по собственным функциям оператора четвертой производной, подчиненного соответствующим однородным краевым условиям задачи. Преимущество данной методики, например, перед схемой Рунге-Кутта 4-го порядка точности, наиболее сильно проявляется при увеличении числа собственных функций.

Разработана программа, позволяющая прослеживать динамику колебаний трубы при различных входных параметрах. Кроме того, программа позволяет проводить анализ характера колебаний в различных пространствах варьируемых параметров на основе тех или иных характеристик динамических систем, выявлять области периодических и хаотических колебаний. В частности, получены данные, иллюстрирующие степень хаотичности колебаний на основе величины хаусдорфовой размерности при варьировании каких-либо двух параметров системы. При этом для подсчета хаусдорфовой размерности предлагается новый достаточно эффективный алгоритм.

Анализ численных экспериментов показал сильную зависимость характера колебаний от частоты волны давления. Проведено также исследование зависимости частоты и амплитуды свободных колебаний от начального прогиба трубы. Анализируется разница случаев горизонтального и вертикального расположения трубопроводов. Выявлены условия возникновения параметрического резонанса.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 02-01-97911).