Построение вейвлет-базисов с компактным носителем, адаптированных к дифференциальным операторам

В.Г. Захаров, И.Н. Ипанов (Пермь)

Во многих реальных задачах возникает необходимость решения дифференциальных уравнений, где в качестве искомых и/или явно входящих в уравнения функций выступают функции, имеющие сингулярности или большие градиенты. При решении такого рода уравнений традиционные численные методы, такие, например, как конечно-разностные или спектральные, становятся либо неустойчивыми, либо не дают необходимой точности из-за возникновения осцилляций вследствие явления Гиббса. Выходом из данной ситуации могло бы являться применение метода Галёркина с использованием вейвлет-базисов, которые имеют как частотную, так и физическую локализацию, а также и достаточно регулярны. Вейвлет-базисы позволяют минимизировать указанные выше эффекты, а также предоставляют возможность простого построения адаптивных расчетных схем для решения эволюционных уравнений. Тем не менее, применение вейвлет-базисов для решения дифференциальных уравнений все еще не получило достаточного распространения, которое можно было ожидать, исходя из их потенциальных возможностей. Одной из причин является сложный, хотя и достаточно разряженный, вид матриц дифференциальных операторов в вейлет-базисах. Напомним, что при использовании тригонометрических функций матрица любого линейного дифференциального оператора имеет диагональный вид.

Нашей целью являлось построение биортогональных [1] вейвлет-базисов, адаптированных к заданному дифференциальному оператору так, чтобы максимально упростить структуру результирующей матрицы жесткости, возникающей вследствие применения метода Галеркина [2]. На данный момент разработана методика построения биортогональных вейвлет-базисов на основе вейвлетов Добеши, которые диагонализуют матрицы жесткости дифференциальных уравнений вида . Для более сложных уравнений, в которые входит сумма дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, построены биортогональные вейвлет-базисы, дающие блочно-диагональный вид матриц жесткости. В дальнейшем планируется получить вейлет-базисы, полностью диагонализующие представление суммы дифференциальных операторов.

 

1. Tchamitchian Ph. Biorthogonalite et theorie des operateurs Rev. Math. Iberoam. V. 3. P. 163-189. 1987.

2. Dahlke S. , Weinreich I. Wavelet-Galerkin methods: an adapted biorthogonal wavelet basis. Constr. Approx., V. 9. P. 237-266. 1993.