Несжимаемые среды – математические модели и проблемы численного решения

П.А. Ананьев,  П.К. Волков, А.В. Переверзев  (Калуга)

Прямая дискретизация уравнений Навье-Стокса обычно приводит к медленно сходящемуся итерационному процессу по нелинейности. Использование монотонных балансных нейтральных разностных схем, предобуславливателей, монотонизирующих регуляризаторов, разнесенных и частично разнесенных сеток для скоростей и давления и др. позволяет получать устойчивые по времени монотонные схемы. Однако сходимость и точность зависят от класса решаемых задач, от способа дискретизации.

Применение МКЭ к решению совместной системы ДУ при аналитическом вычислении интегралов приводит к СЛУ с матрицей, имеющей число ноль собственным числом с кратностью, равной количеству неизвестных функции давления. Приближенное вычисление интегралов или, в большей степени, использование полиномов разного порядка для аппроксимации скоростей и давления приводит к некоторому малому сдвигу спектра от нуля. Это дает плохообусловленную матрицу и создает возможность получения решения в медленно сходящемся итерационном процессе. Данное решение будет некоторым приближением, поскольку получаемая матрица не будет эквивалентна исходной, вырожденной. Степень приближения при этом не определена. Сказанное справедливо в случае применения абсолютно любых типов элементов в двух- и трехмерном случаях.

Очевидно проблема связана с фундаментальным свойством вырожденности уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Линейная задача Стокса также обладает указанным свойством. Анализ спектра матрицы совместной системы однозначно указывает на условие несжимаемости как причину вырожденности.

Обоснована регуляризация уравнения неразрывности несжимаемой жидкости с новым независимым параметром регуляризации, имеющим физическую природу.

Разработан метод решения регуляризованных уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Обербека-Буссинеска на основе МКЭ, дающий наиболее точное решение, сравнимое с точностью спектральных методов. Тестирование на международных бенчмарках и сравнение с экспериментальными данными выявляет лучшие качества численного алгоритма как по точности, так и по сходимости, а также отсутствие схемной вязкости.

Существующие решения по различным схемам МКР классифицируются по величине параметра регуляризации. Т.е. МКР дает решения некоторых регуляризованных уравнений несжимаемой жидкости с параметром, который явно не выписан. Это объясняет имеющийся большой разброс в решениях разных авторов и невозможности их сближения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Калужской области (гранты № 00-01-96004 и № 01-01-96021).