Новая формулировка уравнений Навье-Стокса для несжимаемых жидкостей в переменных «функция тока – силовое поле», ориентированная на задачи течения со смешанными граничными условиями

С.Н. Аристов, О.И. Скульский (Пермь)

Уравнения Навье-Стокса являются основой описания явлений, происходящих в жидкой среде. В связи с тем, что эти уравнения для несжимаемых жидкостей не линейны и не принадлежат к типу уравнений Коши-Ковалевской, известные точные решения немногочисленны, а применение численных методов вызывает ряд трудноразрешимых проблем. Численные методы решения полных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных «вектор скорости – давление» приводит к нелинейным плохо обусловленным системам алгебраических уравнений, что вызывает численную осцилляцию решения при использовании прямых методов и ограничивает использование итерационных методов их решения. Исключение давления из числа независимых переменных с помощью введения функции тока и завихренности решает проблему обусловленности алгебраических систем, но вызывает новые трудности в восстановлении поля давления и удовлетворении граничным условиям для завихренности.

Суть новой формулировки уравнений Навье-Стокса состоит в введении некоторого силового поля, дивергенция которого равна давлению. В результате математических преобразований уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости принимают вид двух замкнутых связанных между собой уравнений Пуассона (векторных в трехмерном случае или скалярных в двухмерном случае) для функции тока и силового поля. Конвективные члены уравнений Навье-Стокса преобразуются в квадратичные члены, содержащие первые производные от функции тока. Численное решение полученных уравнений может осуществляться методом сеток или методом конечных элементов. Восстановление компонент вектора скорости осуществляется дифференцированием функции тока, а давление – силового поля.

Такая постановка, в отличие от постановки в переменных «функция тока – завихренность», позволяет получить точное аналитическое решение задачи Пуазейля последовательным прямым интегрированием двух исходных дифференциальных уравнений. Для двумерных и трехмерных задач требуется разработка алгоритмов итерационного процесса по нелинейности и способов задания граничных условий для введенного силового поля.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 01-01-96485 и № 01-01-00446).