Исследования бифуркаций бесконечно длиных пластин и оболочек при действии поперечных и продольных знакопеременных нагрузок

А.В. Крысько,  В.О. Назарьянц, Г.Г. Наркайтис  (Саратов)

В работе исследуются сложные колебания бесконечно длинных цилиндрических панелей и пластин при действии поперечных и продольных знакопеременных нагрузок. Механическая система рассматривается как система с бесконечным числом степеней свободы. Бесконечномерная задача сводится к конечномерной с помощью метода конечных разностей по пространству  с аппроксимацией O(h4). Обыкновенные дифференциальные уравнения решаются методом Рунге-Кутта. Исследуются сценарии перехода гармонических колебаний указанных механических систем в хаотические. Для этого исследования проводятся с помощью качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Для оценки поведения указанных систем построены: алгоритмы получения зависимостей прогиба, перемещений от времени для  прозвольной точки механической системы; фазовые портреты; показатели Ляпунова; сечения Пуанкаре; зависимость максимального прогиба от управляющего параметра.

Предлагается  для распределенных систем строить не бифуркационные диаграммы, которые обычно строятся для сценария Фейгенбаума, а шкалу бифуркаций, зависящую от управляющего параметра – амплитуды поперечной, продольной нагрузок. Построены “карты” характера колебаний механических систем в зависимости от управляющего параметра. Это связано с тем, что возможны различные варианты перехода к хаосу. В работе для бесконечномерных систем обнаружены новые явления, когда после одной бифуркации удвоения периода скачком наступает бифуркации утроения, упятирения, усемерения, удевятирения, уодинацетирения периода. Следует отметить, что для дискретных систем данное явление описывается теоремой А.Н. Шарковского.

Вычисление спектра Ляпуновских показателей строится по методу Бенети. Дается анализ спектра Ляпуновских показателей в зависимости от амплитуды управляющего параметра. Следует заметить, что исследование зависимости Wmax от амплитуды управляющего параметра совместно со шкалой бифуркаций является конкурентноспособной методикой изучения устойчивости колебаний по сравнению рассмотрением максимального Ляпуновского показателя. Качественно результаты полностью совпадают.

В случае Фейгенбауманского сценария перехода к хаосу численно получены константы Фейгенбаума, которые отличаются от теоретического значения менее чем на 0.8%. Выявлена серия новых аттракторов.