Исследование стохастических колебаний гибких сферических и конических оболочек

В.А. Крысько, И.В. Кравцова, Т.В. Щекатурова (Саратов)

В работе построены математические модели стохастических колебаний гибких детерминистских систем в виде пологих сферических и конических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки, исследуются сценарии перехода колебаний систем в хаос в зависимости от ряда управляющих параметров.

1. Гибкие конические пологие оболочки. Рассматривается распределенная система как система с бесконечным числом степеней свободы. Решение разлагается в ряд Фурье по пространственным координатам с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. Построена система координат функции для произвольных краевых условий. Далее строится процедура Ритца, которая сводит бесконечно мерную искомую задачу к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений и системе алгебраических уравнений, которую удается для высших приближений разрешить аналитически, что в конечном итоге сводит поставленную проблему к решению обширной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Исследуется сходимость решения по пространственным координатам для хаотических колебаний в зависимости от стрелы подъема конических оболочек, краевых условий, амплитуды и частоты вынуждающей поперечной силы. Построены карты зависимости частоты вынуждающей силы, амплитуды и стрелы подъема. Получены константы Фейхенбаума и выявлены новые сценарии перехода колебаний системы из гармонических в хаотические.

2. Гибкие пологие сферические осесимметричные оболочки. В отличие от первой модели здесь построен принципиально другой алгоритм, основанный на замене бесконечномерных пространственных переменных конечно-мерными на основе метода конечных разностей О(h2). Исследуется сходимость метода в зависимости от количества точек разбиения пространственных координат, краевых условий, стрелы подъема. Построены карты колебаний в зависимости от управляющих параметров. Получены константы Фейхенбаума в случае перехода в хаос по сценарию Фейхенбауму. Выявлены новые сценарии перехода колебаний сферических оболочек из гармонических в хаотические.

Оба алгоритма позволяют исследовать стохастическую детерминистскую систему для указанных конструкций с помощью качественной теории дифференциальных уравнений. Исследуются сигналы, фазовые портреты, спектры мощности, максимальный прогиб амплитуды вынуждающей нагрузки при фиксированной частоте возбуждения. Были обнаружены для указанных конструкций принципиально новые сценарии перехода колебаний из состояния гармонических в хаотические.