Несимметричные конечные интегральные преобразования и их применения к нестационарным задачам вязкоупругости

С.А. Лычев (Самара)

Конечные интегральные преобразования (КИП) позволяют строить решения начально - краевых задач в классе вектор - функций, интегрируемых с квадратом, в замкнутой форме. При этом разрешающие функции представляются в виде полных ортогональных или биортогональных разложений. Сходимость подобных представлений для самосопряженных задач обеспечивается вариациями теоремы Гильберта-Шмидта. По этой причине КИП оказываются мощным инструментом для исследования нестационарных задач симметричной теории упругости и теории оболочек [1]. Вместе с тем, моделирование диссипативных систем приводит к построению несамосопряженных начально - краевых задач. К ним относятся задачи об изгибе вращающегося вязкоупругого стержня, о флаттере, шимми, задачи несимметричной теории упругости. Несмотря на то, что неортогональным разложениям посвящены обширные исследования, их реализация сопряжена с трудностями процедурного характера и необходимостью ее обоснования. Кроме того, диссипативные модели содержат, как правило, производные по времени различных порядков. Представления решений в этих случаях основаны на базисных функциях пучков несамосопряженных дифференциальных операторов.

В настоящей работе построен новый класс несимметричных матричных конечных интегральных преобразований, учитывающий указанные выше особенности. На его основе вводится и обосновывается процедура решения несимметричных начально - краевых задач. Разрешающие функции представляются в форме разложений по полным системам собственных и присоединенных векторов пучка несамосопряженных операторов. Суммирование осуществляется посредством специальных регуляризующих методов. Введенные таким образом представления используются для решения нестационарной задачи об изгибе вращающегося вязкоупругого стержня. Последний рассматривается в постановках гипотез Бернулли и теории типа Тимошенко (с учетом деформаций сдвига и инерции вращения). Устанавливается полнота соответствующих систем собственных и присоединенных функций. Исследуются спектральные характеристики, комплекснозначные собственные формы и связанные с ними обобщенные соотношения биортогональности. Осуществляется построение спектральных разложений для динамической реакции при нестационарных воздействиях, иллюстрирующих связность задачи.

 

1. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1985. 176 с.