О длинноволновой конвекции в двухслойной системе с деформируемой границей раздела

Д.В. Любимов,  С.В. Шкляев  (Пермь)

Известно, что поверхность раздела двух жидкостей остается плоской при описании тепловой конвекции в рамках приближений Буссинеска [1]. Однако, как показано в [2], если жидкости обладают близкими значениями плотности, то возможно построение так называемых обобщенных приближений Буссинеска, корректно учитывающих деформацию границы раздела. В [2] также рассмотрена задача линейной устойчивости механического равновесия горизонтальной двухслойной системы с твердыми теплопроводными границами. В частности обнаружено, что в широком диапазоне параметров наиболее опасна длинноволновая мода. Слабо-нелинейное исследование крупномасштабной конвекции для данной задачи проведено в [3]. Получено амплитудное уравнение, показано, что конвекция возбуждается подкритическим образом.

В настоящей работе рассмотрены конечно-амлитудные крупномасштабные режимы тепловой конвекции в двухслойной системе. С помощью метода многих масштабов показано, что эволюция поверхности раздела описывается нелинейным уравнением диффузии с достаточно сложным незнакоопределенным коэффициентом диффузии.

С помощью интегральных соотношений получена область притяжения основного состояния. Если нижняя жидкость более тяжелая в изотермических условиях, то при любом подогреве снизу достаточно сильное отклонение поверхности раздела может вызвать незатухающее конвективное движение. Кроме того, возможно развитие неустойчивости в потенциально устойчивом случае (нижняя жидкость более тяжелая, нагрев сверху).

Показано, что нетривиальные решения амплитудного уравнения не являются дифференцируемыми. Так как производная отклонения поверхности раздела по продольной координате пропорциональна продольной компоненте скорости жидкости, описание вторичных конвективных течений с помощью полученного уравнения невозможно. Вблизи точек с бесконечной производной условия, в рамках которых получено амплитудное уравнение, не выполняются, и необходим более строгий анализ: возникают пограничные слои с достаточно интенсивным конвективным движением.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 02-01-00701, и № 02-01-06581-мас), Программы поддержки ведущих научных школ (грант № 00-15-96112) и CRDF (грант № PE-009-0).

 

1. Джозеф. Д Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.

2. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Изв. РАН, МЖГ, 1996, N 2, С.32-39.

3. Любимов Д.В., Шкляев С.В. Изв. РАН. МЖГ. 2002. №4. С.44-55.