Оптимальное управление в некоторых задачах фильтрации двухфазной жидкости

А.А. Олейник, Е.В. Шкляева (Пермь)

Рассматриваются некоторые задачи оптимального управления для систем, описывающих фильтрацию двухфазных жидкостей. Такие системы описываются краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих вырождающееся уравнение (на решениях системы происходит вырождения типа уравнения), и потому вопросы их оптимизации являются достаточно сложными.

К задачам оптимального управления сводится задача удержания состояния системы около заданного положения в течение некоторого времени. Рассматривается модельная задача управления фильтрацией двухфазной несжимаемой жидкости в неодносвязной области, граница которой проницаема. В некоторых местах расположены нагнетательные и эксплуатационные скважины. В области происходит процесс вытеснения одной фазы (нефти) другой (водой). Требуется, управляя расходами одной из фаз на нагнетательных скважинах, в течение некоторого времени удерживать систему в состоянии, при котором взаимное распределение фаз близко к заданному профилю при минимальной стоимости управления. Предполагается, что течение жидкостей подчиняется законам Дарси, жидкости являются несмешивающимися и несжимаемыми.

В работе предлагается сведение поставленной задачи к задаче оптимального управления системой с распределенными параметрами с граничным управлением и наблюдением. Рассматриваемая система является сингулярной, поскольку наблюдение неоднозначно зависит от управляющих параметров.

В работе доказано существование оптимального управления, получены необходимые условия оптимальности. Введением сопряженного состояния получена оптимизационная система, которая является необходимым условием оптимальности управления и используется для численного решения задачи.

Подобная задача, рассматриваемая в другой математической постановке, сводится к задаче оптимального управления системой с распределенными параметрами с сосредоточенным управлением и наблюдением. Кроме этого, рассматривается задача определения начального состояния системы по наблюдениям в фиксированные моменты или в течение некоторого времени: зная расходы каждой фазы и насыщенность жидкости ими на скважинах в некоторые моменты времени, требуется определить начальное распределение водонасыщенности в области, которое необходимо знать для исследования задач, описывающих процесс фильтрации двухфазных жидкостей. Задача сводится к задаче стартового управления с финальным наблюдением.