Вероятностные модели прочности и разрушения дискретных систем

Д.А. Онищенко  (Москва)

Рассматриваются некоторые аспекты построения и исследования вероятностных моделей дискретных систем в механике прочности и разрушения. В лекции обсуждаются, в основном, модели с дискретным временем, при этом демонстрируется различие в постановке задачи в сравнении со случаем непрерывного времени. Основной задачей является нахождение вероятности разрушения (отказа) многоэлементной системы (МС) при заданном воздействии, когда значения прочности элементов являются случайными величинами. Принимается во внимание эффект перераспределения усилий в работоспособных элементах при частичных отказах, что принципиально отличает рассматриваемые модели от задач математической теории надежности систем с независимыми отказами.

Алгоритм анализа процесса разрушения в МС с дискретным временем выглядит следующим образом: а) при заданном воздействии определяются усилия в элементах МС в исходном (неповрежденном) состоянии; б) если есть перегруженные элементы ­– усилие в элементе больше прочности – они считаются разрушенными и удаляются; в) производится перерасчет МС в новой (поврежденной) конфигурации; далее переход к шагу б) и т.д. Говорим, что система разрушена, если на каком-то шаге она попадает в недопустимое состояние, и неразрушена, если она окажется в допустимом неперегруженном состоянии. Таким образом, в рамках рассматриваемой модели вероятность разрушения МС вычисляется как вероятность реализации пути разрушения, приводящего в недопустимое состояние.

Выделяется класс систем без разгрузки: это такие МС, в которых усилия в элементах не могут уменьшаться на любом пути разрушения; исследуются свойства таких систем. Показано, что для МС без разгрузки может быть выполнено полное аналитическое исследование задачи. Далее объясняется метод, основанный на вычислении набора "мажорирующих усилий", позволяющий находить эффективную верхнюю оценку вероятности разрушения для систем общего вида (в которых может иметь место разгрузка).

В заключение описывается модель пучка волокон – это система статистически одинаковых элементов (волокон) с некоторой диаграммой деформирования, определяемой набором случайных параметров. В этой модели нагрузка распределяется равномерно между всеми работоспособными в текущем состоянии элементами. Демонстрируется, как применение аналитического аппарата теории вероятностей позволяет осуществить асимптотический анализ прочности таких систем при большом количестве элементов. Приводятся примеры приложений модели к задачам с различным физическим содержанием.