4-мерный канонический формализм в теории упругости при конечных деформациях

Ю.Н. Радаев  (Самара)

Нелинейная теория упругости представлена как физическая теория поля [1] в одном из канонических вариантов. Основой подхода выступает принцип минимальности Гамильтонова действия для упругого поля (в том числе, возможно, сингулярного из-за наличия рассеянного поля микроповреждений) в условиях конечности деформаций.

Исследование обобщенных вариационных симметрий для функционала действия нелинейно -  упругого поля в духе [2] с помощью 4-мерного полевого формализма реализуется с целью получения регулярного метода вывода инвариантных интегралов нелинейной механики.

Изложение существенно отличается от характерных для механики сплошных сред и теории упругости способов определения базовых понятий и вывода основных полевых уравнений. Исходя из вариационного принципа минимальности действия для нелинейно -  упругого поля, даны канонические и естественные определения всех важнейших тензорных полей, необходимых для его описания. Систематический вывод законов сохранения нелинейной теории упругости и соответствующих им инвариантных интегралов реализован с помощью последовательного проведения принципа двойственности описания деформации, существенно обобщенного в [3].

Важной частью работы является также исследование степени определенности тензорных характеристик нелинейно - упругого поля. Здесь используется концепция Лагранжиана пустого пространства (нулевого Лагранжиана). В рамках 4-мерного полевого формализма найдена его общая форма.

В целом работу следует рассматривать как компактное, но вполне строгое изложение теории упругости при конечных деформациях с позиций классической теории поля. В то же время в ней разработаны и формальные основы нелинейной механики разрушения, в значительной степени базирующейся (в теоретическом плане) на аппарате инвариантных интегралов, которые, по существу, представляют собой инвариантную формулировку основных физических законов сохранения в виде интегралов по контуру или поверхности, не зависящих от пути интегрирования

 

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. II. Теория поля. М: Наука, 1973. 504 с.

2. Qlver P. J. Application of Lie Groupes to Differential Equations. New York: Springer, 1986.

3. Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. London: Chapman & Hall, 1993. 276 pp.