Метод получения определяющих уравнений вязкоупругих деформируемых материалов и вязкоупругих жидкостей с учетом конечных деформаций среды

А.Л. Свистков  (Пермь)

Для построения математической модели среды с учетом ее вязкоупругого поведения, конечных деформаций и способности материала течь при определенных условиях предложено использовать символьную схему механического поведения. Схема состоит из соединенных произвольным образом упругих и вязких элементов. Возможно также использование в модели пластических элементов.

Поведение упругих элементов схемы определяется зависимостями, связывающими девиатор тензора напряжений Коши соответствующего элемента с девиатором тензорной функции от левого тензора растяжений этого элемента.

Для задания свойств вязких элементов используется пропорциональная зависимость между девиатором тензора напряжений Коши вязкого элемента и девиатором тензорной меры скорости его деформирования. Каждой точке соединения элементов на схеме соответствует тензорная мера скорости изменения состояния среды. Разность тензорных мер скорости изменения состояния левой и правой точек у каждого из элементов схемы равна тензорной мере скорости их деформирования. В левой точке схемы тензорная мера скорости изменения состояния равна тензору скорости растяжения среды, в правой  имеет нулевое значение.

Потенциал свободной энергии среды представлен в виде функции от температуры и кратностей удлинений упругих элементов символьной схемы. Показано, что предлагаемый метод построения определяющих уравнений приводит к автоматическому удовлетворению неравенства диссипации.

Каждой точке соединения элементов на схеме соответствуют сформулированные в виде тензорного уравнения “условия равновесия”. Смысл его заключается в следующем. Сумма тензоров напряжений Коши элементов, соединяемых с точкой слева, равна сумме напряжений Коши элементов, соединяемых с точкой справа. Данное условие имеет простую физическую аналогию. Тензоры напряжений Коши можно рассматривать как действующие на точки силы в девятимерном пространстве. Для равновесия необходимо, чтобы сумма сил, действующих на точку слева, равнялась сумме сил, действующих на точку справа. При этом полагается, что на левую точку символьной схемы слева и на правую точку справа действуют тензоры напряжений Коши рассматриваемой среды.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 02-01-96404).