Погрешность модели Хеле-Шоу

Е.Л. Тарунин (Пермь)

В данной работе выясняется погрешность теоретической модели Хеле-Шоу при различных способах аппроксимации компонент скорости и различных часто используемых допущениях, связанных с учетом вязкого прилипания на узких гранях. Погрешность выясняется при конечных значениях толщины ячейки D на конвективной задаче в вертикальном канале, подогреваемом сбоку и изотермическом течении при постоянном градиенте давления.

Погрешности оценивались по отличию от решения, которое находилось методом сеток без аппроксимации скорости полиномом второй степени, моделирующего плоское течение Пуазейля. Соответствующие разностные уравнения решались на равномерной сетке итерационным методом последовательной верхней релаксации.

Анализировались, в основном, две модели. В первой модели не учитывались условия вязкого прилипания на узких гранях, а во второй – учитывались. В случае второй модели требуется решить соответствующую краевую задачу с малым параметром при старшей производной. Величины соответствующих расходов моделей Q1 и Q2 сравнивались с расходом Q, полученным из решения задачи Дирихле методом сеток.

Из результатов видно, что погрешность первой модели по величине расхода менее 2% лишь при d = D/L < 1/45. Погрешность второй модели, учитывающей пограничный слой у боковых границ ячейки, при d < 0.1 менее 1%. Отличие скоростей первой и второй моделей на середине слоя существенно лишь вблизи границы. Показано, что учет условий вязкого прилипания на узких гранях существенно снижает погрешность модели Хеле-Шоу. Без учета этих условий погрешность модели в конвективной задаче менее 5% лишь при d < 0.05.

Отрицательные свойства первой модели усиливаются, если правая (“источниковая”) часть в уравнении движения дает большие значения в пограничном слое. Такая ситуация возможна, например, при интенсивной конвекции, приводящей к температурному пограничному слою и образованию неустойчивой стратификации. Выполненный анализ устойчивости схем двухполевого метода, построенных для эволюционного уравнения второй модели, позволил выяснить их повышенную устойчивость. Расчеты сеточной задачи для широких ячеек (d > 1) позволили выяснить, что плоская постановка задачи об устойчивости в случае широких каналов возможна лишь для значений d > 5.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 02-01-96407) и Американского фонда гражданских исследований и развития (грант № РЕ-009-0).