Варианты задачи  Н.Е.  Жуковского о рассеве

Е.Л. Тарунин (Пермь)

Первое сообщение о задаче рассева был сделано Н.Е. Жуковским в декабре 1886 года Политехническому обществу. В этой задаче горизонтальная площадка совершает вращательное движение. На площадке находится тело, которое связано с площадкой силой сухого (кулоновского) трения. При малой величине трения соответствующие дифференциальные уравнения имеют решения, описывающие круговое движение с постоянным значением модуля скорости и радиуса r. Это круговое движение создает условия для падения частицы в сыпучем теле. При этом соответствующей траекторией служит уже винтовая линия. Описанные явления служат основой процесса вибрационного разделения сыпучих смесей.

Рассмотрено 4 варианта задачи Н.Е. Жуковского. В первом варианте к кулоновскому (“сухому”) трению добавлено “вязкое” трение. Последующие три варианта относятся к одномерному движению плоскости с различными усложнениями.

Показано, что задача Н.Е. Жуковского имеет аналитическое решение при добавлении к кулоновскому трению “вязкого” трения. Во втором рассмотренном варианте вместо вращательного движения площадка совершает колебательное движение в одном направлении. В книге Блехмана И.И. и Джанелидзе Г.Ю. «Вибрационное перемещение» (1964) на примере этой задачи подробно разобраны основные методы, применяемые при решении нелинейных задач динамики систем с сухим трением. Здесь приводится два режима установившегося движения с указанием границ для частного случая, когда трение покоя равно трению скольжения. Кроме того, дано сравнение полуамплитуды смещения с радиусом r в задаче Н.Е. Жуковского.

В третьем усложненном варианте одномерного движения смещение площадки вправо и влево происходит за разное время. В этом случае появляется новый параметр, равный отношению “долей периода” k (при k=1 получается вариант, рассмотренный выше). Оказалось, что с точки зрения математики, соответствующее дифференциальное уравнение идентично уравнению движения инерцоида.

В четвертом, также одномерном, варианте предполагалось, что колеблющаяся поверхность искривлена (ее высота описывается параболой) и существует только вязкое трение. В этом случае уравнение движения приобретает вид, похожий на уравнение вынужденных колебаний. Отличие заключается лишь в том, что амплитуда силы пропорциональна квадрату частоты. Найдена соответствующая резонансная кривая.

Работа выполнена при поддержке Американского фонда гражданских исследований и развития (грант № РЕ-009-0).