Конечноэлементная технология дискретизации по времени конечноэлементных уравнений движения в свертках для задач линейной теории упругости

В.Н. Терпугов (Пермь)

Обсуждается техника построения одношаговых расчетных схем (алгоритмов) для задач линейной теории упругости на основе конечноэлементных (КЭ) уравнений движения в свертках, которые получаются в результате реализации метода Ритца для дискретизации по пространственным переменным функционала Лагранжа в свертках. Эти же уравнения можно получить двукратным интегрированием по времени известного КЭ уравнения движения, полученного реализацией метода Бубнова-Галеркина для дискретизации по пространственным переменным принципа возможных перемещений. Искомым в таком уравнении в сверках является зависящий от времени вектор узловых перемещений КЭ сетки. Векторы начальных перемещений и скоростей входят в это уравнение. Для дискретизации по времени строится конечный элемент с двумя узлами. В качестве узловых значений этого элемента берутся векторы перемещений и скоростей: начальные на левом конце и искомые на правом. В этом случае для дискретизации возможно использование аппроксимирующих полиномов с квадратичной и с кубической аппроксимацией, что приводит к двум различным расчетным схемам. Для изучения свойств получаемых расчетных схем рассматривается задача об исследовании устойчивости и алгоритмического затухания матричного одношагового алгоритма, записанного в общем виде, в частности, включающего рассматриваемые расчетные схемы. Для этого алгоритма выводятся соотношения, означающие выполнение безусловной устойчивости алгоритма к шагу интегрирования и отсутствие алгоритмического затухания. Обсуждаются условия, при которых эти соотношения выполняются. Чтобы обеспечить выполнение полученных соотношений, в изучаемые расчетные схемы при построении вводятся управляющие параметры: три при построении алгоритма с квадратичной аппроксимацией и шесть – с кубической. В результате удается построить два неявных безусловно устойчивых без алгоритмического затухания алгоритма. Пошаговая процедура решения первого алгоритма реализуется на основе метода Холесского. Для второй схемы строится итерационный процесс, при реализации которого учитываются свойства входящих в него матриц, доказывается сходимость и оценивается скорость сходимости. При этом, используя первый алгоритм, удается построить общую для двух алгоритмов эффективную итерационную процедуру, когда решение, полученное с помощью первого алгоритма, используется в качестве начального приближения для второго. Оценивается вычислительная эффективность построенных процедур. Обсуждается программная реализация. Приводятся примеры расчетов. Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант РФФИ-Урал № 01-01-96489).