Свойства спектра монотонных возмущений небуссинесковской конвекции в горизонтальном слое

М.Ю. Тяглов (Ростов-на-Дону)

Рассматривается слой изотермически несжимаемой жидкости, снизу ограниченный твердой стенкой, а сверху – упругой пластиной. Зависимость удельного объема V от температуры T считается линейной: V=1+αT, где α – коэффициент теплового расширения. Предполагается, что на каждой из границ поддерживается постоянная температура, и ставится вопрос об условиях возникновения свободной конвекции. Используется модель конвекции изотермически несжимаемой жидкости, построенная в [1]. Найдено равновесие задачи, и методом линеаризации исследуется устойчивость этого равновесия. Эта задача изучалась численно в [2]. Колебательная неустойчивость не была обнаружена.

С помощью теории гипо- и гиперосцилляционных дифференциальных операторов, развитой в работе Ю.С. Барковского [3], доказывается, что в линейной краевой задаче для монотонных возмущений существует счетное число простых изолированных положительных собственных значений, роль которых выполняют критические числа Рэлея. Тем самым строго доказывается существование порога устойчивости. Показано также, что с ростом коэффициента жесткости пластины критические числа Рэлея монотонно растут, то есть уменьшение жесткости пластины дестабилизирует равновесие. Аналогичные утверждения справедливы и в том случае, когда верхняя граница свободная и деформируемая и на ней учитывается поверхностное натяжение.

Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами, проведенными в [2], [4].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 02-01-00337 и № 01-01-22002).

 

1. Юдович В. И. Конвекция изотермически несжимаемой жидкости// Деп. В ВИНИТИ, 28.05.99, №. 1699–B99.

2. Тяглов М. Ю. Конвекция изотермически несжимаемой жидкости в горизонтальном слое с упругой стенкой// Тез. докл. Международной школы-семинара "Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов", SCDS – II, ( Сочи, Лазаревское, 18-23 сентября, 2001).

3. Барковский Ю. С. Гипоосцилляционные и гиперосцилляционные дифференциальные операторы// Докл. АН СССР. т. 267. №2. 1982. С. 269-271.

4. Надолин К. А. Численное исследование возникновения конвекции в горизонтальном слое сжимаемой жидкости со свободно деформируемой границей// Изв. Сев.-Кав. центра высш. шк. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. С. 118–121.