Бифуркационные диаграммы, показатели Ляпунова и энтропия Колмогорова в анализе изотропного турбулентного течения

Г.П. Быстрай, С.И. Студенок (Екатеринбург)

Следуя Рейнольдсу и Тейлору [1], мгновенные значения скорости в системе уравнений Навье-Стокса (СНС) для вязкой несжимаемой жидкости были разложены на осредненные и пульсационные составляющие. Это позволило выделить из СНС пульсационную подсистему уравнений (ПСНС), содержащих только члены с пульсационными скоростями. При этом диагональные компоненты тензора кажущихся турбулентных напряжений в главных осях были отождествлены с пульсациями давления. С учетом свойств изотропного течения было получено уравнение Навье-Стокса для изотропных пульсаций скорости жидкости и известное уравнение Тейлора для турбулентной диссипации внутренней энергии в приведенном виде. При этом, в отличие от Рейнольдса, на данном этапе не проводилось усреднение пульсаций скорости по времени. Далее предполагалось, что турбулентный поток жидкости возмущается периодическими “ударами”, связанными с образованием турбулентных вихрей. Учет этих ударов, следуя Г. Шустеру [2], реализовывался путем добавления функции Дирака в правую часть динамического пульсационного уравнения и второй производной пульсаций скорости по времени в его левую часть. Далее жидкость рассматривалась в приближении модели вязко – упругой среды, что выражалось в учете запаздывания между возмущающим воздействием вихрей и формированием поля скоростей течения [3]. Интегрирование пульсационного уравнения с d-образной правой частью на конечном временном интервале привело к двумерному четырехпараметрическому отображению, описывающему хаотическую динамику пульсаций скорости. Управляющими параметрами в полученном отображении являются: период между двумя последовательными образованиями вихрей, величина интенсивности пульсаций, число Рейнольдса и время запавздывания. Полученный детерминированный хаос является перемежающимся и удовлетворяет закону Колмогорова-Обухова. Предложенное отображение описывает также возникновение гигантских во времени флуктуаций при приближении к критической точке (R®Rc). Для полученного отображения построены: бифуркационная диаграмма, один из показателей Ляпунова, а также энтропия Колмогорова, характеризующая скорость потери информации о начальных условиях для фазовой траектории.

 

1. Taylor G.I. Statistical theory of turbulence. Parts 1-4. Proc. Roy. Soc. London A. 1935. V. 151. Р.421-478.

2. Schuster H.G. Deterministic Chaos. An introduction. Physik-Verlag, Weinheim. 1984. P. 240.

3. Гершуни Г.З. Гидродинамическая неустойчивость. Изотермические течения. СОЖ. 1997. №2. С. 99-106.