Определение спектра свободных колебаний упругих неоднородных прямых стержней методом начальных параметров

А.А. Васин, М.В. Васина (Тула)

Рассматривается задача о свободных пространственных колебаниях прямого неоднородного стержня. Плотность и механические свойства материала одинаковы для каждой точки, отсутствует естественная крутка стержня, а его геометрические характеристики - площадь поперечного сечения, главные центральные моменты инерции - есть заданные функции продольной координаты, которая отсчитывается от начала стержня.

Примем, что справедливы гипотеза плоских сечений и гипотеза о ненадавливании друг на друга слоев, параллельных оси стержня [1]. Ограничимся рассмотрением малых прогибов, отождествляя кривизны со вторыми производными поперечных перемещений по продольной координате. Помимо этого, пренебрежем сближением поперечных сечений и депланацией сечений при кручении.

В соответствии с принятыми предположениями состояние стержня описывается системой двенадцати линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, составленной из уравнений равновесия и геометрических соотношений. Для решения этой системы формулируется подход в рамках метода начальных параметров, реализующий процедуру аналитических последовательных приближений. Доказывается сходимость метода.

Приводятся результаты расчетов частот свободных колебаний и форм трубы переменного внутреннего радиуса и толщины стенки для некоторых вариантов граничных условий.

Дается обобщение предлагаемого метода и на другие схемы неоднородности, например, при непрерывном изменении жесткости и плотности по длине.

 

1. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Высшая школа, 1979. – 318с.