Метод дискретных особенностей в задачах теории фильтрации

А.А. Аксюхин (Орёл)

Разрешение практически важных проблем теории фильтрации, таких как разработка нефтяных и водных месторождений, строительство гидротехнических сооружений, мониторинг и охрана окружающей среды от загрязнения, требует создания новых математических моделей течений вязкой жидкости в неоднородных средах. Развитые теория функций комплексного переменного и теория потенциала для уравнений эллиптического типа [1] позволяют исследовать в конечном виде лишь ограниченный класс плоскопараллельных, двумерных и осесимметричных задач фильтрации.

Предлагаемый для исследования двумерной и трёхмерной фильтрации численный метод дискретных особенностей позволяет значительно расширить класс решённых задач. Суть этого метода заключается в следующем: ставится граничная задача о напорной линейной фильтрации несжимаемой жидкости постоянной вязкости к системе совершенных (или в трёхмерных задачах – несовершенных) скважин, работающих в изотропной неоднородной среде вблизи стационарных границ сопряжения, питания и непротекания, а также сингулярных границ (проводимость слоя на которых обращается в ноль или бесконечность). Основными уравнениями являются дифференциальное уравнение эллиптического типа, выражающее закон Дарси, и уравнение неразрывности. Согласно [2], использование квазипотенциалов двойного слоя позволило свести задачу к системе неоднородных интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма, записанных на границах сопряжения и питания, и интегральных соотношений, количество которых совпадает с числом скважин. Полученная система интегральных уравнений и соотношений решается численно путём сведения к системе алгебраических уравнений. При этом границы моделируются, как показано в работе [3], дискретными источниками (стоками), вихрями или другими особенностями.

Реализация предложенного метода с использованием персональных компьютеров с процессорами Pentium-I и II позволила исследовать большое количество конкретных двумерных и трёхмерных граничных фильтрационных задач о дебитах скважин, работающих в неоднородных слоях с различными законами проводимости (или проницаемости) [2].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 01-01-00063 и № 02-01-06460).

 

1. Пивень В.Ф. Функции комплексного переменного в динамических процессах. Орел. Изд-во Орловского пединститута. 1994. 148 с.