Математическая модель адаптационных процессов в костных тканях нижней конечности человека

Ю.В. Акулич, Р.М. Подгаец, А.В. Сотин (Пермь)

Применение классической теории пористой упругой приспосабливающейся среды [1,2] к решению прикладных задач встречает серьезные трудности, в виду необходимости длительного экспериментального (клинического) определения структуры и компонент тензора адаптации в эволюционном (кинетическом) уравнении, описывающем изменение плотности костной ткани при отклонении тензора деформации от его гомеостатического значения. С помощью построения феноменологического уравнения среды, следующего из этой теории и аналогичного по форме, но использующего новое эволюционное уравнение, установлена структура и получены аналитические выражения компонент нового тензора адаптации. Этот тензор связывает в предложенном эволюционном уравнении изменение тензора упругих свойств с отклонением интенсивности деформации от ее гомеостатического значения. Поэтому структура предложенного тензора адаптации совпадает со структурой тензора упругих свойств, если предположить, что в процессе адаптации не происходит смена вида анизотропии. Это предположение справедливо для большинства хирургических восстановительных и реабилитационных технологий. Аналитические выражения компонент тензора адаптации получены как для губчатой, так и для плотной костной ткани. Структуру губчатой костной ткани образуют поры сферической формы в твердом матриксе. В процессе адаптации изменяется радиус пор по линейному закону (такому же, как и для губчатой костной ткани) в зависимости от отклонения интенсивности деформации от ее гомеостатического значения, полученного аппроксимацией известных экспериментальных данных об активности костных клеток. Структура плотной костной ткани состоит из пор цилиндрической формы и твердого матрикса. Выражения компонент тензора адаптации содержат производные технических модулей упругости по радиусу пор. Для губчатой костной ткани (изотропный материал) производная модуля упругости определена по известным экспериментальным данным (коэффициент Пуассона – постоянный). Для плотной костной ткани, являющейся транстропным материалом в бедре и ортотропным в голени, производные определялись по данным численных экспериментов на растяжение и кручение соответствующих «образцов». Представлены решения тестовых одномерных задач адаптации в обоих видах костной ткани.

 

1. Cowin S.C. and Hegedus D.H. Bone remodeling I: theory of adaptive elasticity. J. of Elasticity, Vol. 6, No. 3, July 1976, pp. 313-326.

2. Hegedus D.H. and Cowin S.C. Bone remodeling II: small strain adaptive elasticity. J. of Elasticity, Vol. 6, No. 4, October 1976, pp. 337-352.