Некоторые аспекты построения сеток конечных элементов с применением метода Делоне

С.Н. Вяткин  (Пермь)

В начале восьмидесятых годов прошлого века появились первые эффективные алгоритмы построения сеток конечных элементов, основанные на триангуляции Делоне. В настоящее время метод Делоне широко применяется для генерации конечноэлементных сеток в процессе численного решения множества двумерных и трехмерных прикладных задач механики сплошных сред и в смежных областях. Однако в нем остается довольно много белых пятен, особенно при построении сеток трехмерных областей.

Исполнение условия Делоне для сетки предполагает, что сферы, описанные на вершинах элементов, являются «пустыми», то есть, внутри данных сфер нет узлов, принадлежащих другим элементам. Это требование является необходимым для построения сетки Делоне и обеспечивает выпуклость окружения каждого узла сетки для двумерной области. В трехмерном пространстве «пустота» сфер уже не всегда обеспечивает выпуклость окружения узлов конечноэлементной сетки, что приводит к возникновению множества аномалий сетки («иглы», «шапочки», «конверты» и т.д.) [1]. Получение решений частных задач механики сплошных сред на такой сетке, в принципе, возможно. Однако при решении нестационарных задач, связанных с деформацией сетки (задачи пластического деформирования, газовой динамики и массопереноса в лагранжевой постановке и т.д.), как правило, возникает вырождение аномальных элементов, вследствие чего появляется неопределенность кумулятивных свойств искомых полей в аномальных зонах.

Для борьбы с аномалиями используют различные алгоритмы оптимизации сетки, что приводит к значительному увеличению затрат времени для построения сетки. Кроме того, сама процедура оптимизации приводит к нарушению условия Делоне для всей области.

В представленной работе рассмотрены некоторые подходы, обеспечивающие исполнение условия Делоне в сетке трехмерных элементов. В частности, предложен алгоритм генерации поля внутренних узлов, обеспечивающий гарантированное отсутствие аномальных элементов. Для безусловной определенности вычислений предложено более широко использовать целочисленную арифметику.

Приведены примеры построения конечноэлементных сеток для областей сложной формы.

 

1. Paul-Louis George, Houman Borouchaki. Delaunay triangulation and meshing: Application to finite elements. Paris: Hermes, 1998.